Herleitung der Formel zur Aufladung eines Kondensators

In der Formelsammlung findet man die Formeln zur Aufladung des Kondensators angegeben.

Aber warum sind die Formeln zur Kondensatoraufladung eine e-Funktionen?

Zumal eine so komische ? 😉

Diesen Fragen wird in dieser und der nächsten Folge auf den Grund gegangen.

Hinweis: Diese beiden Folgen sind eher für Studenten, bzw. Schüler der Klassen 12 oder 13 an einem (technischen) Gymnasium oder einer Fachoberschule gedacht.

Zum Verständnis dafür, dass die Formeln e-Funktionen sind, benötigt man einige mathematische Vorkenntnisse.
Zumindest sollte man schon etwas von der Differentialrechnung gehört haben und wissen, wie man e-Funktionen ableitet.

Für die Herleitung der Formeln für die Kondensatoraufladung muss man nämlich eine Diffentialgleichung (DGL) lösen.

Zwar werde ich hier einen sehr pragmatischen Ansatz wählen, so dass man kein Meister im Bereich gewöhnliche Diffentialgleichungen sein muss. Ein gewisses Grundverständnis ist jedoch nötig.

Wenn Du also nicht zufällig Student bist oder gerade Dein Abitur machst, lass Dich nicht schocken.
Die Herleitung der e-Funktion ist als Zusatz für die gedacht, die gern wissen möchten, WARUM die Aufladung des Kondensators mit e-Funktionen beschrieben wird.

Studenten der Elektrotechnik machen tatsächlich solche Dinge in ihrem Studium. 😉

Man muss aber keine DGL lösen können, wenn man sich mit Elektrotechnik beschäftigen will.

Lösen der Differentialgleichung

Nach einem Spannungsumlauf (2. Kirchhoffsches Gesetz) erhält man die beschreibende Gleichung:

UB = UR + UC
Wenn man nun die Stromstärke I in die Gleichung einsetzt, erhält man für die Spannung am Widerstand U = R x I und die Spannung am Kondensator U = Q/C.

Ok, ok in der Spannung am Kondensator taucht die Stromstärke noch nicht direkt auf, sondern die Ladung Q.

Die Stromstärke ist jedoch definiert als die Änderung der Ladung in einer bestimmten Zeit, bzw. im Differentialquotienten I = dQ/dt.

Diese in die Gleichung eingesetzt, ergibt dann tatsächlich eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, die gelöst werden muss.

Da wir die Startbedingung kennen, haben wir noch einen Pfeil im Köcher und können, nachdem wir die homogene DGL gelöst haben, über die Startbedingungen die Konstanten unserer Lösun g bestimmen.

Aufstellen und Lösen der DGL im Video


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Im folgenden Video stelle ich zunächst die Differentialgleichung auf.

Durch Lösen der Differentialgleichung erhalten wir die Lösung für die Stromstärke bei der Kondensatoraufladung.

Im folgenden Artikel zeige ich dann aufbauend auf dieser Lösung die Gleichung für die Spannung bei der Kondensatoraufladung.