Komplizierte Netzwerke können auch durch die Anwendungen der Kirchhoffschen Regeln gelöst werden.

Gustav Robert Kirchhoff, ein deutscher Physiker, der Mitte des 19. Jahrhunderts lebte, hat zwei wichtige Regeln aufgestellt, die heute als Kirchhoffsche Regeln oder Kirchhoffsche Gesetze bekannt sind.

Bevor ich im Video die Beispielaufgabe mit Hilfe dieser beiden Gesetze löse, möchte ich kurz diese Gesetze erläutern.

Es handelt sich um das 1. Kirchhoffsche Gesetz und das 2. Kirchhoffsche Gesetz

1. Kirchhoffsche Gesetz

Das erste kirchhoffsche Gesetz wird auch als Knotenregel bezeichnet. Es besagt, dass in einem Knoten, also in einem Verbindungspunkt von Leitungen, die Summe der Ströme in jedem Augenblick gleich Null ist.

Da in einem Knotenpunkt keine Ladungsträger entstehen oder verschwinden können und auch keine Ladungsträger gespeichert werden können, ist die Knotenpunktregel auch anschaulich verständlich.

2. Kirchhoffsche Gesetz

Das zweite kirchhoffsche Gesetz ist auch als Maschenregel bekannt. Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf über Knotenpunkte innerhalb eines Netzwerkes. Über die Masche einer Schaltung wird das elektrische Potential auf- bzw. abgebaut. Nach einem vollen Umlauf einer (geschlossenen) Masche hat man wieder das Ausgangspotential erreicht. (Man ist wieder genau da, von wo man losgelaufen ist).

In einer Masche ist daher die Summe aller Spannungen in jedem Augenblick gleich null.

Lösen einer Netzwerkaufgabe

Um eine Aufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichung zu lösen, sucht man Knotenpunkte und stellt mit Hilfe der Knotenregel Gleichungen auf. Außerdem definiert man Maschen und stellt die Maschengleichungen auf.

Man erhält also verschiedene Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die man dann mathematisch mit einem Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gauß-Verfahren, …) auflöst.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln gelöst. Knoten- und Maschengleichungen werden aufgestellt, das Lösen des Gleichungssystems erübrigt sich jedoch in diesem Fall, weil sich die gesuchte Stromstärke als einzig unbekannte Größe in einer Maschengleichung vorkommt. So muss nur diese eine Maschengleichung umgestellt werden.

Komplexe Netzwerke können häufig durch eine Ersatzstromquelle ersetzt werden. Die Berechnung von Spannungen und Stromstärken für eine Last läuft dann auf eine einfache Parallelschaltung aus dem Innenwiderstand der realen Stromquelle und dem Lastwiderstand hinaus.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe einer Ersatzstromquelle gelöst.

Komplexe Netzwerke können häufig durch eine Ersatzspannungsquelle ersetzt werden.

Die Idee dabei ist, eine einfache Schaltung zu finden, die sich genau so verhält wie die gegebene physikalische Schaltung. Diese neue Schaltung lässt sich anschließend leichter berechnen.

Auch Erweiterungen lassen sich an der neu gefundenen Schaltungen vornehmen. Die Berechnung dieser sich dann ergebenen Schaltung ist ebenfalls erheblich einfacher als wenn man die komplizierte Originalschaltung erweitern müste.

Im Fall der Berechnung mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle versucht man eine komplizierte Schaltung auf eine einfache (reale) Spannungsquelle zu reduzieren.

Aufbau der Ersatzspannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle besteht aus einer idealen Spannungsquelle (das ist eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstabnd Ri=0) und einem in Reihe geschalteten Innenwiderstand.

Diese beiden Größen, also der Wert der Spannungsquelle U0 und den Innenwiderstand Ri, müssen gefunden werden und schon hat man die Schaltung vereinfacht

Diese Ersatzspannunsgquelle verhält sich dann genau wie die zu ersetzende Schaltung.

Wenn man die Originalschaltung beispielsweise mit Widerstand belastet, müsste man zur Berechnung beispielsweise des Lasttroms die gesamte Schaltung berechnen. Dies kann je nach SChaltung sehr, sehr aufwändig werden.

Hat man vorher die Ersatzspannungsquelle berechnet, läuft die Berechnung auf eine einfache Reihenschaltung (Inennwiderstand + Lastwiderstand) hinaus.

Der Innenwiderstand Ri

Der Innenwiderstand Riergibt sich, indem man alle (idealen) Spannungsquellen kurzschließt, denn sie haben ja den Innenwiderstand Ri=0 und von den Klemmen in die Schaltung “hineinsieht”.

Man berechnen also den Widerstand der zwischen den zu bertrachtenden Klemmen liegt.

Die Spannungsquelle U0

Die Spannung der Ersatzspannungsquelle ist die Leerlaufspannung U0, also die Spannung, die an den Klemmen im unbelasteten Fall liegt.

Dass das bei der Ersatzspannungsquelle so ist sieht man sehr schnell: Im unbelasteten Fall fließt durch den Innenwiderstand Ri kein Strom. Es fällt also an Ri auch keine Spannungs ab.  Also liegt an den Klemmen die Spannung U0. Da diese Spannung dann auch der Leerlaufspannung der gegebenen Schaltung entspricht, muss also die Leerlaufspannung der gegeben Schaltung berechnent werden.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle gelöst.

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Bei der Berechnung linearer Netzwerke mit dem Überlagerungsverfahren, wird die Wirkung  der einzelnen Spannungs- und Stromquellen auf die Schaltung getrennt betrachtet. Man betrachtet beispielsweise die Stromstärken in einem Zweig oder die Spannung an einem bestimmten Bauelement, die von den einzelnen Quellen hervorgerufen werden, zunächst einmal getrennt voneinander.  Anschließend addiert man diese Einzelwirkungen und erhält somit die tatsächlich fließende Stromstärke bzw. die tatsächlich abfallende Spannung.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens gelöst.

Dieses Verfahren funktioniert allerdings nur in linearen Netzen.

Hierbei ist es wichtig, dass die einzelnen Spannungs- und Stromquellen sich nicht gegenseitig beeinflussen und das Verhältnis von Strom und Spannung an den einzelnen Bauelementen ein proportionales Verhältnis haben. Bei ohmschen Widerständen ist dieses proportionale Verhältnis gegeben.

Sind jedoch nichtlineare Bauteile im Netzwerk vorhanden, sieht die ganze Geschichte schon wieder anders aus.

Ein Beispiel

Bei einer Diode ist das Verhältnis zwischen Strom und Spannung nicht linear. Unterhalb einer bestimmten Spannung leitet die Diode kaum. Ab einer bestimmten Spannung leitet die Diode jedoch sehr gut. Oberhalb dieser Spannung steigt der Strom durch diese Diode exponentiell an. Dass heißt selbst bei einer kleiner Spannungserhöhung erhält man eine sehr große Stromerhöhung.

Wenn man nun viele Spannungsquellen betrachtet, die an der Diode nur einen kleinen Spannungsabfall hervorrufen, würde der resultierende Strom nur sehr klein sein.

Schaltet man diese Spannungsquellen jedoch gleichzeitig ein, könnte die resultierende Spannung so hoch sein, dass die Diode in den leitenden Zustand übergeht. Somit wäre der resultiernde Strom sehr hoch. Eine zusätzliche Spannungsquelle mit einer kleinen Spannung würde bei der Gesamtbetrachtung der Spannungen eine große Erhöhung der Stromstärke bedeuten. Würde man die zusätzliche Spannungsquelle einzeln betrachten, wäre die zusätzliche Stromstärke aufgrund des nichtlinearen Verhaltens der Diode sehr gering.

Merke: Das Überlagerungsverfahren kann nur bei linearen Netzwerken verwendendet werden.

Im Bereich “Grundlagen der Elektrotechnik” werden häufig Netzwerke aus mehreren Spannungsquellen und Widerständen behandelt. Wenn die Netzwerke ausschließlich Verbraucher beinhalten, bei denen der Strom sich zur Spannung proportional verhält, also ohmesche Widerstände, handelt es sich um sogenannte lineare Netzwerke.

Solche lineare Netzwerke lassen sich mit unterschiedlichen Verfahren berechnen.

Anhand folgender Beispielaufgabe möchte ich folgende Verfahren vorstellen:
Die Berechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen, das Überlagerungsverfahren (auch Helmhotzsches Überlagerungsverfahren genannt), die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle.

Wenn Du einige Verfahren bereits kennst, kannst Du die Aufgaben zunächst selbst durchrechnen und dann anschließend mit Hilfe der Videos überprüfen, ob Du richtig gerechnet hast.

Bei Verfahren, die Du noch nicht kennst, kannst Du Dir im Video das entsprechende Verfahren vorrechnen lassen.

Für weitere Übungsaufgaben kann ich das Buch Elektroaufgaben, Gleichstrom von Helmut Lindner* empfehlen. In diesem Buch findest Du 900 Aufgaben zum Thema Gleichstrom.

Zun aber zur Aufgabe dieser Artikelserie.

Aufgabe

Gegeben ist untenstehendes Netzwerk mit 5 Spannungsquellen mit den Werten:

U1= 10 V

U2= 5 V

U3= 7 V

U4= 3 V

U5= 9 V

Die einzelnen Widerstandswerte betragen R=100 Ω.

Berechne die Stromstärke IL mit Hilfe

• der Kirchhoffschen Gleichungen
• Überlagerungsverfahren
• Ersatzspannungsquelle
• Ersatzstromquelle

Wie gesagt: Am besten, Du berechnest die Aufgaben mit Hilfe der einzelnen Verfahren, und/oder mit weiteren Verfahren, die Du im Unterricht kennen gelernt hast, selbst durch und vergleichst dann die Ergebnisse. Selbstverständlich ist bei jedem Verfahren das Ergebnis gleich,
nämlich I_L=-65 mA.

Erst nachdem Du selbst gerechnet hast, schau Dir die Videos an, die ich zu den einzelnen Verfahren gemacht hast.

Lösungen

Hier findet Du die Videos zu den einzelnen Lösungsverfahren zu dieser Aufgabe.

Berechnung anhand der Kirchhoffschen Gleichungen

Überlagerungsverfahren

Ersatzspannungsquelle

Ersatzstromquelle

Kostenlose Studienhandbücher*

Elektronen und Protonen ziehen sich an. Wenn man verhindert, dass der Ladungsträgerausgleich innerhalb der Spannungsquelle stattfindet, bleibt die elektrische Spannung erhalten.

Über einen Alternativweg kann man den Elektronen den Augleich ermöglichen und so eine Elektronenbewegung, einen elektrischen Strom, erzeugen.

Die Flussrichtung der Elektronen beschreibt die physikalische Stromrichtung vom Minuspol zum Pluspol. Die technische Stromrichtung geht vom Pluspol zum Minuspol und ist daher der physikalischen Stromrichtung entgegengerichtet.

Folgendes Video erläutert die Zusammenhänge.

Für die Elektrotechnik sind die Protonen, also die positiv geladenen Teilen, vor allem aber die Elektronen, die negativ geladenen Teilchen wichtig.

Positive und negativ geladene Teilchen ziehen sich an. Dieser Effekt wird in der Elektrotechnik genutzt. Er ist quasi die Grundlage der Elektrotechnik.

Protonen sind fest im Atomkern verankert. Durch die Trennung der beweglichen Elektronen von den Protonen entsteht durch die Anziehung eine Kraft auf das Elektron in Richtung des Protons.

Das elektrische Feld

Wenn man nun mehrere Elektronen von den Protonen trennt und verhindert, dass die Elektronen wieder zurückfließen, entsteht ein elektrisches Feld.

Dieses elektrische Feld kann man dadurch nachweisen, indem man eine Probeladung in dieses elektrisches Feld bringt und dann die Kraft auf diese Probeladung untersucht. Man kann z.B. ein Elektron in das elektrische Feld bringen, das dann von den Protonen angezogen und von den anderen Elektronen abgestoßen wird.

Je nach Abstand dieser Probeladung von den positiv geladenen Protonen, bzw. auch von anderen negativ geladenen Elektronen ist die Kraft auf die Probeladung unterschiedlich groß.

Die Probeladung befindet sich je nach Abstand auf einem unterschiedlichen elektrischen Potential.

Die elektrische Spannung

Der Unterschied zwischen zwei unterschiedlichen elektrischen Potentialen wird als elektrische Spannung bezeichnet.

Im Video werden die Begriffe elektrisches Potential und elektrische Spannung anhand der Analogie zum Gravitationsfeld der Erde und der potentiellen Energie eines Masse erklärt.

Das Video

Wie geht’s weiter

Im nächsten Artikel werden die Elektronen nicht mehr festgehalten, sondern erhalten die Möglichkeit, sich frei zu bewegen. Durch die Kraft zwischen Protonen und Elektronen bewegen sie sich in eine Richtung. Das ist der elektrische Strom.