Die Idee beim Überlagerungsverfahren ist es, die einzelnen Spannungsquellen getrennt zu betrachten, die Wirkungen dieser Einzelbetrachtungen zu berechnen und im abschließenden Schritt diese einzelnen Wirkungen zu addieren.

Genau das möchte am vorliegenden Beispiel tun.

Das Überlagerungsverfahren

Zunächst einmal wird nur die Spannung der ersten Autobatterie betrachtet. Die zweite Autobatterie wird gedanklich kurzgeschlossen, bzw. der Wert der Spannung gleich Null gesetzt.

In der sich ergebenen Schaltung kann man dann alle Ströme und Spannungen berechnen.

Uns interessiert nur die Stromstärke durch das Starthilfekabel.

Deshalb berechne ich im Video zunächst einmal die Gesamtstromstärke.

R2 und RA sind parallelgeschaltet. Dazu liegt R1 in Reihe. Der Gesamtstrom berechnet sich demnach aus der Spannung U1 geteilt durch den berechneten Gesamtwiderstand.
Also I‘1 = U1 / R Ges

Anschließend berechne ich daraus die Spannung am Widerstand R2 und damit die Stromstärke durch das Starthilfekabel.

Vorsicht Falle

Doch Vorsicht: Hier kann sich schnell ein Vorzeichenfehler einschleichen.

Die Spannung am Widerstand „verläuft von oben nach unten“. Oben ist ein höheres Potential. Den Strom durch das Starthilfekabel haben wir aber von rechts nach links, durch den Widerstand also von unten nach oben, angenommen.

Die Stromstärke hat also eine andere als die Spannung. Demnach ist die Stromstärke negativ!

Im Video zeige ich das anhand eines Maschenumlaufs. Wenn die Zusammenhänge etwas komplizierter wie hier sind, ist so ein Maschenumlauf empfehlenswert. So lässt sich ein Vorzeichenfehler leicht verhindern.

Im nächsten Schritt wird dann der 2. Fall berechnet. Hier wirkt nur die zweite Spannungsquelle. Die erste Spannungsquelle wird gedanklich kurzgeschlossen oder gleich Null gesetzt.

Die Stromstärke I2 lässt sich danach leicht bestimmen. R1 und RA sind parallelgeschaltet, R2 dazu in Reihe. Die Stromstärke I2 ist gleich dem Gesamtstrom.

Berechnung der tatsächlichen Stromstärke

Im abschließenden Schritt werden die Stromstärken (vorzeichenrichtig) addiert.

Wir erhalten damit den tatsächlichen Strom durch das Starthilfekabel. Ein Vergleich mit der Lösung mit Hilfe der Kichhoffschen Gleichungen zeigt, dass wir richtig gerechnet haben.

1. U1 aktiv
2. U2 aktiv
3. Gesamtschaltung

An der Simulation mit PSPICE sieht man sehr schön, wie sich die einzelnen Teilströme zum Gesamtstrom addieren.

Hier das Video mit der Schaltungssimulation.

Wie in der letzten Folge besprochen, sind Widerstände temperaturabhängig.

Die Frage aus der letzten Folge war, wie sich der Widerstand einer Motorwicklung bei Erwärmung ändert.

Und welcher Widerstandswert sich bei einer Erwärmung auf 95°C ergibt.

Die Lösung, wie besprochen, im Video…

In Aufgabe 2 soll es nun endlich um die Kompensation der Blindleistung gehen.

Hierzu wird zunächst am Zeigerdiagramm deutlich, wie hoch die Blindleistung des Kondensators sein sollte. Zur vollständigen Kompensation der Motorblindleistung muss der Kondensators eine Blindleistung Q_C erzeugen, die der Blindleistung Q_L der Induktivität entspricht.

Im weiteren Verlauf des Videos wird anschließend die Größe der Kapazität berechnet.

Die Berechnung der einzelnen Leistungen ergibt sich dann aus P=I² * R, bzw. Q=X²*R.

Die Scheinleistung wird mit Hilfe des Leistungsdreiecks berechnet.

Analog wird mit der Verlustleistung im Leitungswiderstand für Aufgabe 1.7 verfahren.

Hier das ganz noch einmal in einem kurzen Video.

Im 4. Teil der Aufgabe sollen die einzelnen Spannungen im Zeitbereich berechnet und skizziert werden.

Wichtig dabei ist, zwischen Effektivwert und Amplitude zu unterscheiden.

Wenn man die einzelnen Spannungen gezeichnet hat, kann man durch Addition der einzelnen Werte für jeden Zeitpunkt die Generatorspannung ermitteln.

Ich empfehle, das auch einmal zu Hause zu tun, um den Mechanismus zu sehen.

Der verwendete Funktionsplotter

Im Video gehe ich einen anderen Weg. Ich verwende zur Addition einen Funktionsplotter. Das ist eine Software mit deren Hilfe man Funktionen als Funktionsgleichung eingeben und dann graphisch ausgeben lassen kann.

Funktionsplotter gibt es als PC-Software zu kaufen. Im Internet gibt es jedoch auch Online-Funktionsplotter, die für den gelegentlichen Gebrauch ausreichen.

Im Video verwende ich den MAFA Funktionsplotter. Dieser Funktionsplotter ist von Schülern im Rahmen einer Facharbeit im Leistungskurs Mathematik 2002/2004 des Feodor-Lynen-Gymnasiums Planegg erstellt worden.
Dem Team um Daniel Schmidt-Loebe auf diesem Weg ein dickes Lob!

Das Video

Bislang bin ich meistens mit 4-6 Minuten ausgekommen, da ich der Meinung bin, dass das eine Zeitspanne ist, in der man sich gut auf eine komplexe Sache konzentrieren kann.

Durch die Online-Verwendung des Funktionsplotters als Software-Tool ist dieses Video nun ein dicker Brocken mit 12 Minuten geworden. Falls das Video zu lang geworden ist, gebt mir bitte Feedback. Ich versuche dann in Zukunft wieder kürzer zu drehen.

Hier noch einmal der Link zum MAFA-Funktionsplotter.

In Aufgabe 1.5 war das Zeigerdiagramm für alle Spannungen gefordert. Legt man den Strom I in die X-Achse, dann haben auch die Spannungen den Phasenwinkel  φ=0.

Die Spannung an der Induktivität eilt um 90° vor, so dass die Spannung U am Motor sich aus der geometrischen Addition aus der Spannung am ohmschen Anteil der Motorspule und der Spannung an der Induktivität ergibt.

Addiert man anschließend noch den Spannungsabfall auf der Leitung so erhält man die Generatorspannung U_G.

Diese Zusammenhänge ergeben folgendes Zeigerbild:

Der Aufbau des Zeigerdiagramms wird auch noch im Video zur Aufgabe 1.3 erklärt.

Für die Aufgabe Kompensation der Blindleistung für einen Elektromotor müssen zur Berechnung der notwendigen Generatorspannung die Spannungen, die an den einzelnen Kompenenten des Motors abfallen, und der Spannungsabfall auf der Leitung addiert werden.
Wesentlich ist jedoch ist, dass man die Phasenbeziehung der einzelnen Spannungen betrachtet. Nicht alle Spannungen sind phasengleich, so dass man nicht einfach die Beträge addieren darf.

Lösungsansatz

Zur Lösung der Aufgabe hilft folgender Ansatz:
Durch alle Bauteile fließt die in Aufgabe 1.2 errechnete Stromstärke I. Da die einzelnen Widerstände bekannt sind, lassen sich die einzelnen Spannungen leicht berechnen. Durch die Berücksichtigung der Phasenlage der Spannungen entsteht das Zeigerdiagramm, mit dessen Hilfe die Spannungen geometrisch addiert werden können.

Im folgenden Video rechne ich den Ansatz vor.

Berechnung der Stromstärke durch die Leitung für die Aufgabe zur Blindleistungskompensation eines Elektromotors

Die Stromstärkung ist bei geöffnetem Schalter gleich der Stromstärke, die durch den Motor fließt.

In Aufgabe 1.1 wurde ja bereits die Impedanz des Motors berechnet: Z=86Ω.

Der Strom durch den Motor beträgt somit

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Komplizierte Netzwerke können auch durch die Anwendungen der Kirchhoffschen Regeln gelöst werden.

Gustav Robert Kirchhoff, ein deutscher Physiker, der Mitte des 19. Jahrhunderts lebte, hat zwei wichtige Regeln aufgestellt, die heute als Kirchhoffsche Regeln oder Kirchhoffsche Gesetze bekannt sind.

Bevor ich im Video die Beispielaufgabe mit Hilfe dieser beiden Gesetze löse, möchte ich kurz diese Gesetze erläutern.

Es handelt sich um das 1. Kirchhoffsche Gesetz und das 2. Kirchhoffsche Gesetz

1. Kirchhoffsche Gesetz

Das erste kirchhoffsche Gesetz wird auch als Knotenregel bezeichnet. Es besagt, dass in einem Knoten, also in einem Verbindungspunkt von Leitungen, die Summe der Ströme in jedem Augenblick gleich Null ist.

Da in einem Knotenpunkt keine Ladungsträger entstehen oder verschwinden können und auch keine Ladungsträger gespeichert werden können, ist die Knotenpunktregel auch anschaulich verständlich.

2. Kirchhoffsche Gesetz

Das zweite kirchhoffsche Gesetz ist auch als Maschenregel bekannt. Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf über Knotenpunkte innerhalb eines Netzwerkes. Über die Masche einer Schaltung wird das elektrische Potential auf- bzw. abgebaut. Nach einem vollen Umlauf einer (geschlossenen) Masche hat man wieder das Ausgangspotential erreicht. (Man ist wieder genau da, von wo man losgelaufen ist).

In einer Masche ist daher die Summe aller Spannungen in jedem Augenblick gleich null.

Lösen einer Netzwerkaufgabe

Um eine Aufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichung zu lösen, sucht man Knotenpunkte und stellt mit Hilfe der Knotenregel Gleichungen auf. Außerdem definiert man Maschen und stellt die Maschengleichungen auf.

Man erhält also verschiedene Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die man dann mathematisch mit einem Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gauß-Verfahren, …) auflöst.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln gelöst. Knoten- und Maschengleichungen werden aufgestellt, das Lösen des Gleichungssystems erübrigt sich jedoch in diesem Fall, weil sich die gesuchte Stromstärke als einzig unbekannte Größe in einer Maschengleichung vorkommt. So muss nur diese eine Maschengleichung umgestellt werden.

Komplexe Netzwerke können häufig durch eine Ersatzstromquelle ersetzt werden. Die Berechnung von Spannungen und Stromstärken für eine Last läuft dann auf eine einfache Parallelschaltung aus dem Innenwiderstand der realen Stromquelle und dem Lastwiderstand hinaus.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe einer Ersatzstromquelle gelöst.