In Aufgabe 2 soll es nun endlich um die Kompensation der Blindleistung gehen.

Hierzu wird zunächst am Zeigerdiagramm deutlich, wie hoch die Blindleistung des Kondensators sein sollte. Zur vollständigen Kompensation der Motorblindleistung muss der Kondensators eine Blindleistung Q_C erzeugen, die der Blindleistung Q_L der Induktivität entspricht.

Im weiteren Verlauf des Videos wird anschließend die Größe der Kapazität berechnet.

Die Berechnung der einzelnen Leistungen ergibt sich dann aus P=I² * R, bzw. Q=X²*R.

Die Scheinleistung wird mit Hilfe des Leistungsdreiecks berechnet.

Analog wird mit der Verlustleistung im Leitungswiderstand für Aufgabe 1.7 verfahren.

Hier das ganz noch einmal in einem kurzen Video.

Im 4. Teil der Aufgabe sollen die einzelnen Spannungen im Zeitbereich berechnet und skizziert werden.

Wichtig dabei ist, zwischen Effektivwert und Amplitude zu unterscheiden.

Wenn man die einzelnen Spannungen gezeichnet hat, kann man durch Addition der einzelnen Werte für jeden Zeitpunkt die Generatorspannung ermitteln.

Ich empfehle, das auch einmal zu Hause zu tun, um den Mechanismus zu sehen.

Der verwendete Funktionsplotter

Im Video gehe ich einen anderen Weg. Ich verwende zur Addition einen Funktionsplotter. Das ist eine Software mit deren Hilfe man Funktionen als Funktionsgleichung eingeben und dann graphisch ausgeben lassen kann.

Funktionsplotter gibt es als PC-Software zu kaufen. Im Internet gibt es jedoch auch Online-Funktionsplotter, die für den gelegentlichen Gebrauch ausreichen.

Im Video verwende ich den MAFA Funktionsplotter. Dieser Funktionsplotter ist von Schülern im Rahmen einer Facharbeit im Leistungskurs Mathematik 2002/2004 des Feodor-Lynen-Gymnasiums Planegg erstellt worden.
Dem Team um Daniel Schmidt-Loebe auf diesem Weg ein dickes Lob!

Das Video

Bislang bin ich meistens mit 4-6 Minuten ausgekommen, da ich der Meinung bin, dass das eine Zeitspanne ist, in der man sich gut auf eine komplexe Sache konzentrieren kann.

Durch die Online-Verwendung des Funktionsplotters als Software-Tool ist dieses Video nun ein dicker Brocken mit 12 Minuten geworden. Falls das Video zu lang geworden ist, gebt mir bitte Feedback. Ich versuche dann in Zukunft wieder kürzer zu drehen.

Hier noch einmal der Link zum MAFA-Funktionsplotter.

In Aufgabe 1.5 war das Zeigerdiagramm für alle Spannungen gefordert. Legt man den Strom I in die X-Achse, dann haben auch die Spannungen den Phasenwinkel  φ=0.

Die Spannung an der Induktivität eilt um 90° vor, so dass die Spannung U am Motor sich aus der geometrischen Addition aus der Spannung am ohmschen Anteil der Motorspule und der Spannung an der Induktivität ergibt.

Addiert man anschließend noch den Spannungsabfall auf der Leitung so erhält man die Generatorspannung U_G.

Diese Zusammenhänge ergeben folgendes Zeigerbild:

Der Aufbau des Zeigerdiagramms wird auch noch im Video zur Aufgabe 1.3 erklärt.

Für die Aufgabe Kompensation der Blindleistung für einen Elektromotor müssen zur Berechnung der notwendigen Generatorspannung die Spannungen, die an den einzelnen Kompenenten des Motors abfallen, und der Spannungsabfall auf der Leitung addiert werden.
Wesentlich ist jedoch ist, dass man die Phasenbeziehung der einzelnen Spannungen betrachtet. Nicht alle Spannungen sind phasengleich, so dass man nicht einfach die Beträge addieren darf.

Lösungsansatz

Zur Lösung der Aufgabe hilft folgender Ansatz:
Durch alle Bauteile fließt die in Aufgabe 1.2 errechnete Stromstärke I. Da die einzelnen Widerstände bekannt sind, lassen sich die einzelnen Spannungen leicht berechnen. Durch die Berücksichtigung der Phasenlage der Spannungen entsteht das Zeigerdiagramm, mit dessen Hilfe die Spannungen geometrisch addiert werden können.

Im folgenden Video rechne ich den Ansatz vor.

Berechnung der Stromstärke durch die Leitung für die Aufgabe zur Blindleistungskompensation eines Elektromotors

Die Stromstärkung ist bei geöffnetem Schalter gleich der Stromstärke, die durch den Motor fließt.

In Aufgabe 1.1 wurde ja bereits die Impedanz des Motors berechnet: Z=86Ω.

Der Strom durch den Motor beträgt somit

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Komplizierte Netzwerke können auch durch die Anwendungen der Kirchhoffschen Regeln gelöst werden.

Gustav Robert Kirchhoff, ein deutscher Physiker, der Mitte des 19. Jahrhunderts lebte, hat zwei wichtige Regeln aufgestellt, die heute als Kirchhoffsche Regeln oder Kirchhoffsche Gesetze bekannt sind.

Bevor ich im Video die Beispielaufgabe mit Hilfe dieser beiden Gesetze löse, möchte ich kurz diese Gesetze erläutern.

Es handelt sich um das 1. Kirchhoffsche Gesetz und das 2. Kirchhoffsche Gesetz

1. Kirchhoffsche Gesetz

Das erste kirchhoffsche Gesetz wird auch als Knotenregel bezeichnet. Es besagt, dass in einem Knoten, also in einem Verbindungspunkt von Leitungen, die Summe der Ströme in jedem Augenblick gleich Null ist.

Da in einem Knotenpunkt keine Ladungsträger entstehen oder verschwinden können und auch keine Ladungsträger gespeichert werden können, ist die Knotenpunktregel auch anschaulich verständlich.

2. Kirchhoffsche Gesetz

Das zweite kirchhoffsche Gesetz ist auch als Maschenregel bekannt. Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf über Knotenpunkte innerhalb eines Netzwerkes. Über die Masche einer Schaltung wird das elektrische Potential auf- bzw. abgebaut. Nach einem vollen Umlauf einer (geschlossenen) Masche hat man wieder das Ausgangspotential erreicht. (Man ist wieder genau da, von wo man losgelaufen ist).

In einer Masche ist daher die Summe aller Spannungen in jedem Augenblick gleich null.

Lösen einer Netzwerkaufgabe

Um eine Aufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichung zu lösen, sucht man Knotenpunkte und stellt mit Hilfe der Knotenregel Gleichungen auf. Außerdem definiert man Maschen und stellt die Maschengleichungen auf.

Man erhält also verschiedene Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die man dann mathematisch mit einem Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gauß-Verfahren, …) auflöst.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln gelöst. Knoten- und Maschengleichungen werden aufgestellt, das Lösen des Gleichungssystems erübrigt sich jedoch in diesem Fall, weil sich die gesuchte Stromstärke als einzig unbekannte Größe in einer Maschengleichung vorkommt. So muss nur diese eine Maschengleichung umgestellt werden.

Komplexe Netzwerke können häufig durch eine Ersatzstromquelle ersetzt werden. Die Berechnung von Spannungen und Stromstärken für eine Last läuft dann auf eine einfache Parallelschaltung aus dem Innenwiderstand der realen Stromquelle und dem Lastwiderstand hinaus.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe einer Ersatzstromquelle gelöst.

Komplexe Netzwerke können häufig durch eine Ersatzspannungsquelle ersetzt werden.

Die Idee dabei ist, eine einfache Schaltung zu finden, die sich genau so verhält wie die gegebene physikalische Schaltung. Diese neue Schaltung lässt sich anschließend leichter berechnen.

Auch Erweiterungen lassen sich an der neu gefundenen Schaltungen vornehmen. Die Berechnung dieser sich dann ergebenen Schaltung ist ebenfalls erheblich einfacher als wenn man die komplizierte Originalschaltung erweitern müste.

Im Fall der Berechnung mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle versucht man eine komplizierte Schaltung auf eine einfache (reale) Spannungsquelle zu reduzieren.

Aufbau der Ersatzspannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle besteht aus einer idealen Spannungsquelle (das ist eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstabnd Ri=0) und einem in Reihe geschalteten Innenwiderstand.

Diese beiden Größen, also der Wert der Spannungsquelle U0 und den Innenwiderstand Ri, müssen gefunden werden und schon hat man die Schaltung vereinfacht

Diese Ersatzspannunsgquelle verhält sich dann genau wie die zu ersetzende Schaltung.

Wenn man die Originalschaltung beispielsweise mit Widerstand belastet, müsste man zur Berechnung beispielsweise des Lasttroms die gesamte Schaltung berechnen. Dies kann je nach SChaltung sehr, sehr aufwändig werden.

Hat man vorher die Ersatzspannungsquelle berechnet, läuft die Berechnung auf eine einfache Reihenschaltung (Inennwiderstand + Lastwiderstand) hinaus.

Der Innenwiderstand Ri

Der Innenwiderstand Riergibt sich, indem man alle (idealen) Spannungsquellen kurzschließt, denn sie haben ja den Innenwiderstand Ri=0 und von den Klemmen in die Schaltung “hineinsieht”.

Man berechnen also den Widerstand der zwischen den zu bertrachtenden Klemmen liegt.

Die Spannungsquelle U0

Die Spannung der Ersatzspannungsquelle ist die Leerlaufspannung U0, also die Spannung, die an den Klemmen im unbelasteten Fall liegt.

Dass das bei der Ersatzspannungsquelle so ist sieht man sehr schnell: Im unbelasteten Fall fließt durch den Innenwiderstand Ri kein Strom. Es fällt also an Ri auch keine Spannungs ab.  Also liegt an den Klemmen die Spannung U0. Da diese Spannung dann auch der Leerlaufspannung der gegebenen Schaltung entspricht, muss also die Leerlaufspannung der gegeben Schaltung berechnent werden.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle gelöst.

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Bei der Berechnung linearer Netzwerke mit dem Überlagerungsverfahren, wird die Wirkung  der einzelnen Spannungs- und Stromquellen auf die Schaltung getrennt betrachtet. Man betrachtet beispielsweise die Stromstärken in einem Zweig oder die Spannung an einem bestimmten Bauelement, die von den einzelnen Quellen hervorgerufen werden, zunächst einmal getrennt voneinander.  Anschließend addiert man diese Einzelwirkungen und erhält somit die tatsächlich fließende Stromstärke bzw. die tatsächlich abfallende Spannung.

Im folgenden Video wird die Beispielaufgabe mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens gelöst.

Dieses Verfahren funktioniert allerdings nur in linearen Netzen.

Hierbei ist es wichtig, dass die einzelnen Spannungs- und Stromquellen sich nicht gegenseitig beeinflussen und das Verhältnis von Strom und Spannung an den einzelnen Bauelementen ein proportionales Verhältnis haben. Bei ohmschen Widerständen ist dieses proportionale Verhältnis gegeben.

Sind jedoch nichtlineare Bauteile im Netzwerk vorhanden, sieht die ganze Geschichte schon wieder anders aus.

Ein Beispiel

Bei einer Diode ist das Verhältnis zwischen Strom und Spannung nicht linear. Unterhalb einer bestimmten Spannung leitet die Diode kaum. Ab einer bestimmten Spannung leitet die Diode jedoch sehr gut. Oberhalb dieser Spannung steigt der Strom durch diese Diode exponentiell an. Dass heißt selbst bei einer kleiner Spannungserhöhung erhält man eine sehr große Stromerhöhung.

Wenn man nun viele Spannungsquellen betrachtet, die an der Diode nur einen kleinen Spannungsabfall hervorrufen, würde der resultierende Strom nur sehr klein sein.

Schaltet man diese Spannungsquellen jedoch gleichzeitig ein, könnte die resultierende Spannung so hoch sein, dass die Diode in den leitenden Zustand übergeht. Somit wäre der resultiernde Strom sehr hoch. Eine zusätzliche Spannungsquelle mit einer kleinen Spannung würde bei der Gesamtbetrachtung der Spannungen eine große Erhöhung der Stromstärke bedeuten. Würde man die zusätzliche Spannungsquelle einzeln betrachten, wäre die zusätzliche Stromstärke aufgrund des nichtlinearen Verhaltens der Diode sehr gering.

Merke: Das Überlagerungsverfahren kann nur bei linearen Netzwerken verwendendet werden.