Olaf fasst zunächst einmal die Größen, die gegeben sind, und die Größen, die bereits berechnet worden sind, zusammen.

Anschließend muss „nur“ noch komplex durchgerechnet werden. Da alle Spannungen und Impedanzen gegeben sind kann man einfach die gegebenen Spannungen durch die jeweiligen Impedanzen teilen und erhält so die Spannungen.

Wie man im Video sieht, konvertiert Olaf bald noch zum Elektrotechniker, gelle Olaf

Hier das Video.

Link:

Die Probe der Rechnung

Weil wir nun alle Stromstärken in komplexer Schreibweise, also in Betrag und Phase ausgerechnet haben, kann Olaf nun anhand der einzelnen Knotenpunktgleichungen überprüfen, ob die Ergebnisse auch stimmig sind. Wie man in der Gesamtaufgabe sehr schön sieht, teilt sich der Gesamtstrom zunächst auf in einen Strom durch R1 und einen Strom durch die Induktivität. Die (komplexe) Summe dieser Stromstärken muss also den Gesamtstrom ergeben. Anschließend teil sich dieser Gesamtstrom noch einmal auf in einen Strom durch R2 und einen Strom durch die Kapazität. Die (komplexe) Summe dieser Stromstärken muss also ebenfalls den Gesamtstrom ergeben. Im folgenden Video turnt Olaf diese Übung vor.

Link:

Vielen Dank an Olaf Hinrichsen von Oberprima.com

Mit diesen Videos ist Olafs Part, nämlich die mathematische Berechnung der einzelnen Impedanzen, Spannungen und Ströme, erledigt.

An dieser Stelle vielen, vielen Dank an Dich, Olaf. Dafür, dass Du Dich als „elektrotechnisch gesehen “ Fachfremder auf dieses Experiment eingelassen hast.

Wie man in den Videos sieht, musste Olaf ganz schön rödeln. Selten habe ich sein Whiteboard so vollgeschrieben gesehen. Ich schulde Olaf demnächst mal ein Bier.

Wie geht’s weiter ?

In der nächsten Folge bearbeite ich den letzten Teil der Aufgabe. Das Zeichnen der Zeigerdiagramme und die Interpretation der Gesamtschaltung steht noch aus.

Diese induktive Blindleistung kann mit Hilfe von parallel zum Motor geschaltete Kondensatoren  kompensiert werden.

Die Blindleistung pendelt dann nicht mehr zwischen Generator und Motor sondern zwischen Motor und Kondensator.

Die Kompensation der Blindleistung hat folgende Vorteile:

• Generatoren, Transformatoren und Übertragungsleitungen werden nicht mehr durch die Blindleistung belastet
• Die Blindströme fließen nicht über die Übertragungsleitungen und verursachen somit dort keine Leistungsverluste.

Daher verlangen die EVU (Energieversorgungsunternehmen) beim Einsatz größerer elektrischer Maschinen vom Stromkunden eine gewisse Blindleistungskompensation.

In der folgenden Aufgabe soll eine vollständige Blindleistungskompensation für einen Wechselstrommotor berechnet werden. Ziel der Blindleistungskompensation ist also ein Leistungsfaktor cosφ=1.

Tipps zum Lernen

Der größte Lerneffekt liegt im selbst rechnen! Auch wenn Du hier für jede Aufgabe ein Lösungsvideo findest und die Versuchung groß ist, ohne selbst zu rechnen sich sofort die Videos anzugucken.

Folgende Schritte machen am meisten Sinn:

• Intensives Lesen der Aufgabenstellung
• Selbständiges Lösen der Aufgaben
• Überprüfen der eigenen Lösung anhand der Ergebnis-Seite
• Gegebenenfalls Suchen und Korrigieren der Fehler
• Und erst zum Schluss solltest Du Dir die Videos angucken. Hier kannst Du Deine eigene Lösung noch einmal vergleichen und erhälst weitere Erläuterungen zum Thema.

Aufgabenstellung

Ein Wechselstrommotor (Ersatzschaltbild mit R_M=80Ω und L_M=100mH) wird an eine Spannung U=230V/50Hz angeschlossen. Ein Generator mit einer Spannung U_G stellt über eine Leitung, die durch einen Ohmschen Widerstand RL=10Ω modelliert ist, die benötigte elektrische Leistung zur Verfügung.

Um die vom Motor benötigte Blindleistung zu reduzieren, soll im Aufgabenteil 2 ein Kondensator parallel zum Motor geschaltet werden.

Der Effekt dieser Maßnahme soll durch die veränderte Verlustleistung am Leitungswiderstand R_L deutlich werden.

Aufgabenteil 1: Ohne Kompensation

1.1. Berechne die Gesamtimpedanz des Motors und den Leistungsfaktor

1.2. Berechne die Stromstärke in der Leitung

1.3. Berechne die Spannung U_G, die vom Generator geliefert werden muss

1.4. Skizziere die Spannungen U_RM, U_LM, U_RL und U_G im Zeitbereich.

Hinweise

• Berechnung der Scheitelwerte nichtvergessen !
• Den Aufwand für das Erstellen einer Wertetabelle kannst Du hier bei Bedarf verkleinern, indem Du ein Tabellenkalkulationsprogramm verwendest. Alternativ kannst Du auch einen Online-Funktionsplotter (einfach mal in einer Suchmaschine nach „Funktionsplotter“ suchen) nutzen

1.5. Zeichne für alle Spannungen ein Zeigerdiagramm.

1.6. Berechne Wirk-, Blind- und Scheinleistung des Motors und zeichne ein Zeigerdiagramm

1.7. Berechne die Verlustleistung im Leitungswiderstand R_L

Aufgabenteil 2: Mit Kompensation

Der Kompensationskondensator wird nun parallel zum Motor geschaltet um eine vollständige Kompensation durchzuführen.

2.1. Ergänze das Zeigerdiagramm aus 1.6. um die Blindleistung des Kondensators

2.2. Berechne die benötigte Kapazität des Kondensators

2.3. Berechne die Stromstärke in der Leitung

2.4. Zeichne ein Zeigerdiagramm mit den 3 Strömen I_L, I_M und I_C

2.5. Berechne die Verlustleistung im Leitungswiderstand R_L

Videos mit den Vorschlägen für mögliche Lösungen

<< Die Ergebnisse der Aufgaben findest Du hier. >>


Die Videos sind zur Zeit noch nicht fertiggestellt. Wenn ich die Lösungen hochgeladen habe, werden die entsprechenden Links rot dargestellt.

Lösung zu 1.1. Gesamtimpedanz des Motors und Leistungsfaktor

Lösung zu 1.2. Stromstärke in der Leitung

Lösung zu 1.3. Spannung U_G, die vom Generator geliefert werden muss

Lösung zu 1.4. Spannungen U_RM, U_LM, U_RL und U_G im Zeitbereich

Lösung zu 1.5. Zeigerdiagramm für alle Spannungen

Lösung zu 1.6. und 1.7  Wirk-, Blind- und Scheinleistung des Motors mit Zeigerdiagramm, Verlustleistung im Leitungswiderstand R_L

Lösung zu 2.1. und 2.2 Leistungsdiagramm mit der Blindleistung des Kondensators,  Berechnung der benötigten Kapazität des Kondensators

Lösung zu 2.3. Berechnung der Stromstärke in der Leitung

Lösung zu 2.4. Zeigerdiagramm mit den 3 Strömen I_L, I_M und I_C

Lösung zu 2.5. Die Verlustleistung im Leitungswiderstand R_L nach der Kompensation

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In der letzten Folge hatte Olaf Hinrichsen von Oberprima.com die einzelnen Spannungen an den Impedanzen berechnet.

Hierauf können wir nun wunderbar aufbauen, um die Stromstärken durch die einzelnen Impedanzen zu berechnen.

Wir kennen bereits folgende Größen:

• die einzelnen Impedanzen

• die Spannungen an den Impedanzen

• und den Gesamtstrom

Kennt man die Spannung an einer Impedanz und die Impedanz in Betrag und Winkel, dann kann man ähnlich wie im Gleichstromkreis mit dem ohmschen Gesetzt aus Impedanz / Spannung die Stromstärke durch die Impedanz berechnen.

Die Probe bei der Rechnung

Weil wir den Gesamtstrom kennen, können wir sehr leicht überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Der Gesamtstrom teilt sich nämlich zunächst auf. Ein Teil des Stroms fließt durch den Widerstand R1, der andere Teil durch die Induktivität.

Die (komplexe) Addition der beiden Stromstärken muss deshalb wieder den Gesamtstrom ergeben. Diese Probe kannst Du machen, nachdem Du die einzelnen Stromstärken berechnet hast.

Anschließend fließen die Ströme wieder zusammen und teilen sich im zweiten Teil der Schaltung wieder auf. Auch hier fließt ein Teil des Stroms in den Widerstand R2 und der andere Teil in die Kapazität. Auch hier muss die (komplexe) Summe der Ströme wieder den Gesamtstrom ergeben.

Das heutige Video

Hier zunächst wieder das Video zum Thema, indem ich wieder nur die Idee für die weitere Berechnung vorstelle.

Die konkrete Berechnung übernimmt dann wieder OLaf.

Die Aufgabe werde ich wider Olaf Hinrichsen von Oberprima.com schicken. Nachdem Olaf die Aufgabe durchgerechnet hat, werde ich dann in einer abschließenden Folge die Zeigerdiagramme die einzelnen Spannungen und Stromstärken zeichnen.

Eine Interpretation der Ergebnisse wird dann diese Artikelserie abschließen.

Das “Ping-Pong-Spiel” zwischen den Portalen funktioniert ja blendend. Wie Ihr seht lest, bin ich richtig begeistert .
Bei entsprechender Gelegenheit werde ich so etwas sicher noch einmal machen.

Aber zum Thema

In der letzten Folge hatte ich zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Spannungen an den Impedanzen gezeigt.

Eine Möglichkeit ist, zunächst die Gesamtstromstärke aus der Gesamtspannung und der Gesamtimpedanz zu berechnen. Anschließend können dann, weil ja die Impedanzen Z1 und Z2 bekannt sind, die Spannungen , die an den Impedanzen abfallen, berechnet werden. Dies ist vielleicht die anschaulichere der beiden Varianten.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, mit der komplexen Spannungsteilerregel die einzelnen Spannungen zu berechnen. Hier spart man sich den kleinen Umweg über die Berechnung des Gesamtstroms.

Die Rechnung von Olaf Hinrichsen

Olaf Hinrichsen von Oberprima hat nun wieder den Staffelstab übernommen und die Berechnungen auf seinem Whiteboard durchgeführt.

Er rechnet in seinem Video beide Alternativen durch. Natürlich erhält er in beiden Fällen das gleiche Ergebnis. Trotzdem macht es Sinn, beide Varianten einmal durchzuführen. Einmal, um das Rechnen mit komplexen zu zeigen, bzw. für Dich zu Üben und zweitens ist das ist eine gute Probe, um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hat.

Hier der Link zum Video bei Oberprima.com.

Wie geht’s weiter

In der nächsten Folge geht es um die Berechnung der einzelnen in der Schaltung vorkommenen Stromstärken. Der Gesamtstrom teilt sich ja zunächst in der Parallelschaltung von Induktivität und Widerstand auf und dann ebenfalls in der Parallelschaltung aus Kondensator und Widerstand auf.

Beim nächsten Mal geht also um die Berechnung dieser einzelnen Stromstärken. Dann geht es, wie in den letzten Artikel auch, zunächst um die elektrotechnische Betrachtung und um die Herleitung der Formeln.

Anschließend wird Olaf wieder auf seinem Whiteboard die konkreten Rechnungen durchführen.

Die Bearbeitung einer komplexen Wechselstrom-Aufgabe auf zwei Portalen nach dem “Ping-Pong-Prinzip” macht ja richtig Spaß .

Auch wenn Mathematiker und Elektrotechniker manchmal im Detail einen anderen Ansatz haben ist es doch spannend zu sehen, wie solche Themen interdisplinär gelöst werden können.

Vor allem ist es für uns interessant einmal damit zu experimentieren, wie E-Learing im Web 2.0 aussehen kann.

Los geht’s

Genug der Rede . Hier soll es schließlich um komplexe Wechselstromnetze gehen und sonst nichts

Nachdem Olaf also in der letzten Folge die Einzelimpedanzen und die Gesamtimpedanz berechnet hat geht es heute nun um die Berechnung der Spannungen, die an den Impedanzen Z1 und Z2 abfallen.

Wie bei der Berchnung der Impedanzen kann man auch hier wie in einem Gleichtsromkreis rechnen. Es gelten die gleichen Gesetze und Formeln. Man muss nur komplex rechnen. Das macht zwar die eigentliche Rechnung aufwändiger, die Herangehensweise an die Aufgabe und das Prinzip der Rechnung ist aber genau so wie im Gleichstromkreis.

In heutigen Video zeige ich 2 Möglichkeiten die Spannungen zu berechnen.

• Zum einen kann man den Gesamtstrom berechnen. Da in der Reihenschaltung dieser Strom durch beide Impedanzen fließt, kann man dann anschließend mit Hilfe des Stroms die Spannungen an Z1 und Z2 berechnen.

• Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Schaltung wie aus dem Gleichstromkreis bekannt, mit der Spannungsteilerregel zu lösen. So erhält man die Spannungen in einem Schritt.

Welche der beiden Varianten Du nun zur Berechnung der Spannung nimmst, ist letztendlich Geschmacksache. Zur Übung kannst Du auch beide Varienten einmal durchrechnen. Zum einen um ein bißchen mehr Übung für die komplexe Rechnung zu bekommen, zum zweiten als Probe. Denn in beiden Varianten muss das Egebnis ja gleich sein.

Im Video leite ich wieder wie beim letzten Mal zunächst einmal die Formeln her.

In der nächsten Folge wird Olaf beide Varianten zur Berechnung der komplexen Spannungen durchführen.

In der letzten Folge hatte ich ja die Formeln zur Berechnung der Impedanzen Z1, Z2 und Zges angegeben.

Wie bereits angekündigt, werde ich die Aufgaben aus dieser Artikelserie gemeinsam mit Olaf von Oberprima.com durchrechnen.

Während hier auf ET-Tutorials.de der elektrotechnische Teil durchgearbeitet wird, kümmert sich Olaf um die komplexe Berechnung der Aufgabe.

Mal sehen, wie ein Mathematiker an die Aufgabe herangeht.

Olaf hat nun losgelegt.

Zur Aufgabe hat Olaf nun drei umfangreiche Videos produziert. Schritt für Schritt zeigt er auf seinem White-Board die Berechnung der Impedanzen Z1, Z2 und Zges.

Unter diesem Link findest Du die Videos zur Berechnung der Impedanzen.

Ich empfehle jedoch, auch wenn Du bereits einen Taschenrechner besitzt, der komplex rechnen kann, die Aufgabe “zu Fuß”, also nur mit Sinus und Cosinus einmal komplett durchzurechnen.

Wenn Du die komplexe Rechnung erst einmal verstanden hast, kannst Du Dir später die Arbeit erleichtern und die komplette Rechnjung mit dem Taschenrechner durchführen.

Wie geht’s weiter

So, die Impedanzen sind berechnet.

In der nächsten Folge geht es dann um die Berechnung der Spannungen. Auch da werde zunächst etwas über komplexe Spannungsteiler zeigen und die benötigtemn Formeln herleiten, die Olaf dann anschließend durchrechnet.

Wie findest Du die interdisziplinäre Lösung der Aufgabe?

Es sieht im Deteil sicher etwas anderes aus, ob ein Mathematiker oder ein E-Techniker eine komplexe Rechnung durchführt.

Wie findest Du die Zusammenarbeit zwischen den Plattformen Oberprima.com und ET-Tutorials.de?

Schreib’ Deine Meinung bitte einfach unten ins Kommentarfeld.

Zur Berechnung der Gesamtimpedanzen ist folgendes zu tun:

• Zunächst muss die Gesamtimpedanz für die Parallelschaltung aus der Induktivität und des ohmschen Widerstandes berechnet. Hier kann wie im Gleichstromkreis die Formel zur Parallelschaltung von Widerständen herangezogen werden. Es muss hier nantürlich komplex gerechnet werden.

• Anschließend die Gesamtimpedanz für die Parallelschaltung aus der Kapazität und des zweiten ohmschen Widerstandes. Auch hier wieder wie im Gleichstromkreis mit der Formel zur Parallelschaltung von Widerständen, komplex gerechnet.

• Zu guter letzt müssen diese Widerstände komplex addiert werden. Weil die Winkel der einzelnen Imopedanzen unterschiedlich sind nantürlich auch hier wider komplex gerechnet.

Also hier zunächst das Video, in dem die Formeln zur komplexen Berechnung hergeleitet werden.

Jetzt bist Du wieder an der Reihe.

Weiter geht es mit der konkreten Berechnung der Impedanzen Z₁ , Z₂ und Z_Gesamt. Mit den Formeln und den Rechenregeln aus den vergangenen Videos sollte es gehen.

Die Lösung der konkreten Berechnung gibt es dann im nächsten Artikel.

Wie ich im letzten Artikel schon angedeutet habe, holen wir uns professionelle Hilfe aus der Mathematik. Hierzu werde ich gemeinsam mit OLaf Hinrichsen von Oberprima.com ein kleines Experiment unternehmen -  sozusagen ein plattform- und fächerübergreifenden Lösen der Aufgabe.

Ich bin gespannt wie dieses Experiment funktioniert. Ich hoffe, man sieht, wie sehr die Disziplinen Mathematik und Elektrotechnik sehr verzahnt sind. Zwar werden in der Schule diese Fächer getrennt behandelt und insbesondere m Mathematik unterricht wir manchmal nicht ganz klar, wozu man die Inhalte eigentlich benötigt. Wenn man Mathematik aber mit Physik, Mashinenentechnik oder Elektrotechnik verknüpft, dann sieht man zahlreiche Anwendungsgebiete, in denen man die Inhalte aus dem Mathe-Unterricht gut gebrauchen kann.

OLaf wird  also im nächsten Artikel in einem Video auf seinem White-Board die Zahlenwerte der Impedanzen berechnen.

Nachdem ich in den vergangen Folgen das Rechnen mit komplexen Zahlen in der Elektrotechnik gezeigt habe, möchte in diesem Artikel einmal ein konkretes Beispiel mit Dir durcharbeiten.

Die Aufgabe stammt aus dem Elektrotechnik Buch  Elektro T, Grundlagen der Elektrotechnik*)  aus dem Verlag Holland+Josenhans.

Ich arbeite im Unterricht sehr gern mit diesem Buch und kann es als Ergänzung zum Unterricht sehr empfehlen. Neben einer gut strukturierten Einführung in die Elektrotechnik enthält es ca 500 Übungsaufgaben. Am Ende des Buches werden die Ergebnisse des Buches aufgelistet, so dass Du die von Dir gerechneten Werte selbst überprüfen kannst.

Das Buch ist meines Erachtens sehr gut geeignet, wenn Du das Fachabitur oder Abitur mit dem Schwerpunkt Elektrotechnik anstrebst. Es ist z.B. bei  Amazon*) erhältlich und kostet zur Zeit 32 Euro. Unter folgendem Link kannst Du das Buch ElektroT, Grundlagen der Elektrotechnik bestellen.

Die Aufgabe

Nebenstehende Aufgabe soll berechnet werden.

Die Schaltung besteht aus einer Parallelschaltung einer Induktivität mit einem ohmschen Widerstand, die mit einer weiteren Parallelschaltung aus Kapazität und ohmschen Widerstand in Reihe geschaltet ist.

Gegeben sind die Werte der verwendeten Bauelemente und die Frequenz f.
(Die Angaben findest Du im Schaltbild)

In der Aufgabe sollen folgende Teilaufgaben gelöst werden.

Berechne

1. alle Impedanzen
2. die Gesamtimpedanz
3. Spannungen
4. Ströme
5. Zeichne ein Zeigerbild

In dieser und den nächsten Folgen werde ich die Aufgabe schritt für Schritt vorrechnen. Hierbei hole ich mir professionelle Hilfe von mathematischer Seite. Mehr Informationen hierzu gibt es in den folgenden Artikeln.

Los geht’s

Zu Beginn also eine leichte Übung. Die Impedanzen, also die komplexen Widerstände der Induktivität und der Kapazität, sollen zunächst berechnet werden.

Die Lösung dazu und ein erster Ausblick auf die zweite Aufgabe im Video  …

Im folgenden Artikel geht es dann um die Berechnung der Gesamtimpedanzen, also der Parallelschaltungen aus Induktivität und Widerstand bzw. Kapazität und Widerstand.

]]> http://et-tutorials.de/1949/komplexe-gruppenschaltung/feed/ 2 http://et-tutorials.de/1621/impedanzen-komplexe-widerstande/ http://et-tutorials.de/1621/impedanzen-komplexe-widerstande/#comments Fri, 02 Apr 2010 07:21:40 +0000 Wolfgang Bengfort http://et-tutorials.de/?p=1621

Heute soll es nun um die Anwendung in der Elektrotechik gehen. Neben elektrischen Wechselspannungen und -stromstärken, deren Zeiger man als komplexe Zahlen darstellen kann, ist eben auch die Darstellung und das Rechnen mit Wechselstromwiderständen, sogenannten Impedanzen möglich.

Indukive und kapazitive Impedanzen haben ja neben der strombegrenzenden Wirkung auch eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und zur Folge, wie man in den Zeigerdiagrammen sehen kann.

Diese Phasenverschiebung kann man sehr einfach in dem Phasenwinkel einer Impedanz darstellen.

Die Darstellung der Welchselstromwiderstände als komplexe Impedanzen hat dann den Vorzeil, dass man mit Wechelstromwiderständen ähnlich wie in Gleichstromnetzen rechnen kann.

Es gilt dann die Formel U=Z * I (Z ist hierbei die komplexe Impedanz).

Auf diese Weise können wir konsequent ähnlich wie beim ohmschen Gesetz rechnen.

Im folgenden Video werden die Zusammenhänge verdeutlicht.

Warum eine Multiplikation mit j das gleiche ist wie eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn, zeige ich im folgenden Video.

Hier wird auch deutlich, warum eine Multiplikation jxj bzw. j² das gleiche ist, wie eine Multiplikation mit -1.

Und da das ganze am besten graphisch zu erkennen ist, zeige ich die Zusammenhänge am Koordinatensystem.